Hello 演算法 Java 語言版 作者：靳宇棟（@krahets） 程式碼審閱：靳宇棟（@krahets） Release 1.2.0 2024‑12‑06 序 兩年前，我在力扣上分享了“劍指 Offer”系列題解，受到了許多讀者的鼓勵與支持。在與讀者交流期間，我 最常被問到的一個問題是“如何入門演算法”。漸漸地，我對這個問題產生了濃厚的興趣。 兩眼一抹黑地刷題似乎是最受歡迎的方 記錄。需要注意的是，Python 中 range(a, b) 對應的區間是“左閉右開”的，對應的走訪範圍為 𝑎, 𝑎 + 1, … , 𝑏 − 1 ： // === File: iteration.java === /* for 迴圈 */ int forLoop(int n) { int res = 0; // 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n for (int i = 1; 迴圈中，程式每輪都會先檢查條件，如果條 件為真，則繼續執行，否則就結束迴圈。 下面我們用 while 迴圈來實現求和 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 ： // === File: iteration.java === /* while 迴圈 */ int whileLoop(int n) { int res = 0; int i = 1; // 初始化條件變數 // 迴圈求和 1, 2, .

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾遞迴的空間複雜度是 𝑂(1) 嗎？ 理論上，尾遞迴函式的空間複雜度可以最佳化至 𝑂(1) 。不過絕大多數程式語言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自動最佳化尾遞迴，因此通常認為空間複雜度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函式和方法這兩個術語的區別是什麼？ 函式（function）可以被獨立執行， ‧ C 語言是程序式程式設計語言，沒有物件導向的概念，所以只有函式。但我們可以透過建立結構體 （struct）來模擬物件導向程式設計，與結構體相關聯的函式就相當於其他程式語言中的方法。 ‧ Java 和 C# 是物件導向的程式語言，程式碼塊（方法）通常作為某個類別的一部分。靜態方法的行為類 似於函式，因為它被繫結在類別上，不能訪問特定的例項變數。 ‧ C++ 和 Python 既支持程序 位元組（byte）由 8 位元（bit）組成。 基本資料型別的取值範圍取決於其佔用的空間大小。下面以 Java 為例。 ‧ 整數型別 byte 佔用 1 位元組 = 8 位元，可以表示 28 個數字。 ‧ 整數型別 int 佔用 4 位元組 = 32 位元，可以表示 232 個數字。 表 3‑1 列舉了 Java 中各種基本資料型別的佔用空間、取值範圍和預設值。此表格無須死記硬背，大致理解即 可，需要時可以透過查表來回憶。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 下面以几种常见的编程语言为例来说明。 ‧ C 语言是过程式编程语言，没有面向对象的概念，所以只有函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 下面以几种常见的编程语言为例来说明。 ‧ C 语言是过程式编程语言，没有面向对象的概念，所以只有函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 下面以几种常见的编程语言为例来说明。 ‧ C 语言是过程式编程语言，没有面向对象的概念，所以只有函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo.com 50 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 下面以几种常见的编程语言为例来说明。 ‧ C 语言是过程式编程语言，没有面向对象的概念，所以只有函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo.com 50 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo 下面以几种常见的编程语言为例来说明。 ‧ C 语言是过程式编程语言，没有面向对象的概念，所以只有函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。

𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛2) 和 𝑂(2𝑛) 等。 2. Q & A Q：尾递归的空间复杂度是 𝑂(1) 吗？ 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以优化至 𝑂(1) 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、 Go、C# 等）不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 𝑂(𝑛) 。 Q：函数和方法这两个术语的区别是什么？ 函数（function）可以被独立执行，所 函数。但我们可以通过创建结构体（struct） 来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo.com 48 ‧ Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于 函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。 ‧ C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。 基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。 ‧ 整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特，可以表示 28 个数字。 ‧ 整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特，可以表示 232 个数字。 表 3‑1 列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即 可，需要时可以通过查表来回忆。